25/04/2004

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.      Retour sur la preuve de CANTOR.

 

Pour  prouver que l'ensemble des réels de l'intervalle [0,1] n'est pas dénombrable, Cantor a mis en évidence l'incohérence induite par une bijection de cet ensemble avec l'ensemble N des entiers naturels. En effet, si une telle bijection existait, on pourrait écrire :

 

[0,1] = {X₁,X₂,X₃,….}

chaque réel X_i  s'écrivant :

X_i = 0,a₁a₂a₃a₄a₅…

 

Considérons alors le nombre réel Y dont la i ème décimale vaut 1 si la i ème décimale a_i de X_i  est différente de 1, et 2 dans le cas contraire, et ceci pour toutes les valeurs de i.

Le nombre réel Y ainsi créé est donc différent de X_i  par sa i ème décimale, et ceci pour tout i.

Il n'appartient donc pas à l'ensemble précédent   {X₁,X₂,X₃,….}.

On arrive donc bien à une contradiction, et on en conclut que l'ensemble des réels n'est pas dénombrable : c'est ce raisonnement que nous appellerons par la suite "preuve de Cantor".

 

 

2.      Application du même procédé aux nombres entiers.

 

On peut appliquer le même raisonnement avec les nombres entiers, en les rangeant ainsi : on liste d'abord tous les nombres impairs, par ordre croissant :

X₁ = 1

X₂ = 3

X₃ = 5

………..

Considérons maintenant le nombre 2 : quel que soit n, on n'a jamais X_n = 2 , donc ce nombre n'appartient pas à notre liste en correspondance biunivoque avec N.

 

3. Discussion.

 

De ce qui précède, on doit conclure que le raisonnement qui est à la base de la démonstration est faux, à savoir : "ayant supposé avoir classé (ou ordonné, ou numéroté) tous les éléments de mon ensemble, j'en trouve un qui en fait ne peut pas être classé, donc la bijection avec l’ensemble des entiers n’est pas établie, donc mon ensemble n’est pas dénombrable".

 

Il y a cependant une différence entre les exemples des paragraphes 1 et 2 : dans le cas des nombres réels, la démonstration s'applique à n'importe quelle bijection (numérotation) , alors que dans le cas des nombres entiers, la démonstration s'applique à une numérotation bien choisie. Cela est vrai, mais n'empêche pas le défaut de cette démonstration, qui pour être valide devrait l'être dans tous les cas.

 

Autrement dit, la conclusion avec les nombres réels est : "quelle que soit la bijection avec N que l'on imagine, on peut trouver des nombres n'appartenant pas à cette bijection".

 

Avec les nombres entiers, la conclusion est : "il existe des bijections avec N telles que certains nombres n'appartiennent pas à cette bijection".

 

Encore une fois, cette différence n'est pas suffisante pour remettre en cause la non-validité de la preuve de Cantor.

 

Cette non-validité tient peut-être à la confusion qui est faite entre "dénombrable" et "énumérable" : trouver une bijection d'un ensemble de nombres avec N (c’est à dire un classement), tel qu'un nombre n'y trouve pas sa place, ne signifie pas forcément que cet ensemble n'est pas dénombrable, ainsi que le démontre l’exemple du paragraphe 2.

 

 

4.      Où se trouve la faille de la preuve de Cantor.

 

Elle réside dans le fait suivant : dire que le nombre Y construit comme indiqué dans le raisonnement de Cantor n’appartient pas à l’ensemble dénombré {X₁,X₂,X₃,….} suppose que Y est effectivement un nombre réel. C’est là que réside l’erreur : Y n’est pas un nombre, car tant qu’on considère un nombre de décimales fini, on obtient bien un nombre, mais rien n’autorise à extrapoler le raisonnement à l’infini : Y n’est pas défini, il ne remplit pas les conditions de la définition d’un réel par une coupure.

 

 

5.      Un exemple encore plus troublant.

 

Considérons le sous-ensemble R1 des nombres rationnels construit ainsi :

 

 x Î R1  si x = S (p_i / q_i )

 

la somme comprenant un nombre quelconque de termes, p_i et q_i  étant des nombres premiers tels que, " i et k, on ait  p_i ¹ q_i   et q_i ¹ q_{k  .}

 

Par exemple, (5/3 + 37/2 + 37/5381) Î R1 ,  3/2 Î R1 , 25/6 Î R1 (car 25/6 = 5/2 + 5/3), mais  1/3 Ï R1 , 5/4 Ï R1 .

 

Si on ne retient comme seule représentation des nombres de R1 que celle décrite ci-dessus     S (p_i / q_i ), on démontre aisément que 2 nombres x₁ et x₂  Î R1 sont différents, sauf s’ils ont exactement la même représentation.

 

 Le cardinal de R1 est donc de l’ordre de :

 

N°^N°  en désignant par N° le cardinal de N (ensemble des entiers naturels), alors que le cardinal de l’ensemble des réels n’est que   2 ^N° , ce qui est assez troublant.

 

Tout cela donne à penser que Kronecker et Poincaré avaient raison, contre Cantor.